Aksjomatyzacja czterowartościowej logiki modalnej Łukasiewicza

Abstract

The main subject of this article is the axiomatisation of Jan Łukasiewicz’s Ł-modal logic, a strict, regular, four-value modal logic whose matrix is a Cartesian product of two different two-value propositional matrices. Ł-modal logic was developed on the basis of philosophica discussions and logic research conducted in the Lviv-Warsaw school of logic, which focused on future contingents and temporal modalities. This article should deliver an overview of Ł-modal logic axiomatic systems and highlight differences and similarities between different axiomatic systems. To achieve this, it will describe properties of axiomatic systems, such as independence, simplicity, and the number of symbols used. These properties will then be used to analyse and compare selected axiomatisations. The analysis will be developed across (a) the original Łukasiewcz axiomatic system, which includes the prothotetic δ connective, (b) Lemmon’s axiomatic system, (c) Kripke’s axiomatic system, (d) Dywan’s axiomatic system, (e) Tkaczyk’s axiomatic system, with the jumping necessity theorem, (f) and axiomatic systems with a ternary connective.

Przedmiotem artykułu jest aksjomatyzacja logiki Ł-modalnej Jana Łukasiewicza. Logika ta jest ściśle regularną, czterowartościową logiką modalną, której matryca jest produktem dwóch różnych matryc klasycznego rachunku zdań. Logika Ł-modalna wyrasta wprost z dyskusji filozoficznych i badań logicznych prowadzonych w szkole lwowsko-warszawskiej, które to dotyczył zmienności wartości logicznych w czasie, wartości logicznych zdań opisujących przyszłe zdarzenia przygodne oraz modalności temporalnych. Artykuł ten ma dostarczyć przeglądu aksjomatyk tejże logiki, a następnie wskazać na zachodzące pomiędzy nimi podobieństwa i różnice. W tym celu skupię się najpierw na omówieniu cech takich, jak niezależność, prostota i liczba użytych symboli, a następnie dokonam za ich pomocą analizy oraz porównania wybranych aksjomatyk. Analiza sama w sobie będzie dotyczyć następujących aksjomatyk: (a) oryginalnej aksjomatyki Łukasiewicza, zawierającej zmienną funktorową δ; (b) aksjomatyki Lemmona; (c) aksjomatyki Kripkego; (d) aksjomatyki Dywana; (e) aksjomatyki Tkaczyka z tzw. aksjomatem skaczącej konieczności; oraz (f) aksjomatyki zawierającej funktor trójwartościowy.